Федор Иванович Буссе, был хорошо знаком с педагогическими и методическими идеями Западной Европы: после окончания в 1816 г. Петербургского педагогического института он был командирован за границу, посетил Германию, Англию, Францию и Швейцарию, активно знакомясь с разрабатывавшимися там новыми методами преподавания. Ф.И. Буссе известен как автор "многочисленных и широко распространенных учебников элементарной математики, отличавшихся научными и методическими достоинствами". Оосбенно ценил учебники Буссе П.Л. Чебышев. Будучи членом ученого комитета министерства народного просвещения, он рекомендовал их в качестве руководств для обучения математике в гимназиях и начальной школе.
Кроме работы над учебниками математики, Ф.И. Буссе в качестве члена ученого комитета министерства участвовал в составлении учебного плана по математике для гимназий 1828 г., разработал проект программы по математике для русских гимназий 1846 г. Таким образом, он имел определяющее влияние на постановку математического образования во второй четверти XIX в.
Ф.И. Буссе принадлежат следующие руководства по математике: "Руководство к преподаванию геометрии для школ военных поселений" (1826); "Руководство к арифметике" (1830); "Руководство к преподаванию арифметики для учителей" (1831); "Собрание арифметических задач для гимназий и уездных училищ" (1831); "Руководство к геометрии для уездных училищ" (1831); "Вопросы для экзаменаторов по математике" (1835), "Арифметические таблицы для приходских училищ по способу взаимного обучения" (1835), "Руководство к геометрии для гимназий" (1844); "Первоначальные упражнения в арифметике" (1858); "Сокращенные логарифмические таблицы" (1858) . Все эти учебники долгое время были основными руководствами для школ министерства народного просвещения, некоторые из них были изданы департаментом народного просвещения. Заметим, что, несмотря на специализацию Буссе на методе взаимного обучения, которую он получил в Англии , он нечасто пользовался им в учебниках. Исключение составляют только "Арифметические таблицы…" для начальной школы.
Обратимся к характеристике учебников Ф.И. Буссе, рекомендованных в начале 30-х гг. для гимназий. Это "Руководство к арифметике" и "Собрание арифметических задач", к которым примыкает "Руководство к преподаванию арифметики". Прежде всего, отметим комплексность подхода Буссе к методическому обеспечению курса арифметики для гимназий, которая стала нормой только в настоящее время. Практически Буссе создал комплект книг для учителя и ученика по одному предмету - учебник, задачник и методическое руководство для учителя. Если присовокупить к этому комплекту вышедшие позже "Вопросы для экзаменаторов по математике", то автор обеспечил изучение теории, формирование умений и навыков и итоговый контроль за результатами обучения арифметике. Охарактеризуем подробнее эти книги Ф.И. Буссе.
"Руководство к арифметике" переиздавалось много раз: 2-е издание вышло в 1833 г., после чего учебник переиздавался через каждые 2-3 года. В 1875 г. было опубликовано 18-е издание руководства. В связи с этим событием в "Педагогическом сборнике", по мнению И.Я. Депмана, "самом солидном из всех чисто методических журналов по математике" , издававшихся в XIX в., появляется такой отзыв: "Входить в подробное рассмотрение арифметики г. Буссе считаем излишним. Все занимающиеся преподаванием математики весьма хорошо с нею знакомы. По содержанию своему она вполне удовлетворяет гимназической программе и в этом отношении не уступает ни одному из руководств по арифметике, после нее появившемуся". Далее отмечается, что "по сжатости объема она имеет преимущества перед всеми полными учебниками арифметики, после нее изданными, а по простоте изложения она всех более напоминает собой капитальный труд Лакруа "Практика элементарной арифметики".
Разрабатывая руководства по арифметике, Буссе придерживался такого принципа: начинать обучение надо с самых простых наглядных истин и соблюдать постепенность в переходе к более трудным математическим фактам для того чтобы, с одной стороны, стимулировать развитие учащихся, с другой - сообщить им полезные в общежитии сведения. Руководствуясь этим принципом, Буссе проводил обоснования просто и ясно, использовал наглядные графические представления для изложения учения о дробях, которые особенно трудно даются детям.
Содержание "Руководства к арифметике" полностью отвечало потребностям младших классов гимназии. Оно включало нумерацию, действия над обыкновенными и именованными числами, обыкновенные, десятичные и непрерывные дроби и действия над ними, отношения и пропорции, задачи на правила. В дополнениях излагалось извлечение квадратных и кубических корней. Охарактеризуем некоторые особенности курса арифметики Буссе, которые отличают его от ранее издававшихся.
Число Буссе понимал только как результат измерения, не давая представления о числе как результате счета: "Число есть показание, сколько раз в какой-нибудь величине содержится единицы того же рода" . В учебник впервые включен такой важный "для законченности курса арифметики" материал, как законы арифметических действий. Причем автор подробно их разъясняет, чаще всего предваряя эти объяснения формулировкам правил. При объяснениях он широко использует примеры. Приведем в качестве иллюстрации объяснение коммутативного закона умножения.
"Умножить 4 на 3 значит взять четыре единицы три раза:
1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 +1
1 + 1 + 1 +1
3 + 3 + 3 +3
сложив, получим 4 раза по 3 единицы.
Итак, взять 4 единицы по три раза значит то же, что взять 3 единицы 4 раза, или 4 х 3=3 х 4.
Из сего можно заключить, поелику числа взяты совершенно произвольно, что из одних и тех же сомножителей составляется всегда одно и то же произведение, в каком бы порядке оные числа ни были перемножены".
В отличие от многих учебников арифметики того времени в учебнике арифметики Ф.И. Буссе изучаются такие вопросы, как разложение чисел на множители, бесконечные десятичные дроби.
"Собрание арифметических задач, расположенных по руководству к арифметике, составленному для уездных училищ" - таково полное название второй книги комплекта для преподавания арифметики, созданного Ф.И. Буссе. Очень большое значение он придавал устному счету и решению задач. Эта книга - один из первых сборников задач, изданных в нашей стране . Единственный исследователь, который анализирует этот задачник, В.Е. Прудников считает, что он не лишен некоторых недостатков. В качестве таковых он отмечает следующие: 1)почти во всех задачах "подсказывалось решение", 2) содержание задач не всегда интересно.
Однако сам факт появления в русской учебной математической литературе сборника задач, безусловно, является прогрессивным фактором развития математического образования. Тем более, что "Сборник арифметических задач" Ф.И. Буссе не уступал по качеству многим другим подобным сборникам задач более позднего времени и продолжал издаваться даже в 70-х гг. XIX в.
"Руководство к преподаванию арифметики для учителей" Ф.И. Буссе после "Опыта о усовершении элементов геометрии" С.Е. Гурьева является первой методической книгой в России. Практически это первая методика преподавания арифмнтики, изданная в нашей стране для учителей математики, жестко привязанная к соответствующему учебнику и сборнику задач. В книге для учителя Ф.И. Буссе высказывал и некоторые теоретические положения. В частности, сформулировал методические принципы, на которых у него основано изложение арифметики:
"1)упражнение должно приспособлять к понятиям и возрасту учащихся;
2) не оставлять ничего без основательного объяснения;
3) наблюдать постепенность;
4) сперва развивать в учениках ясное понятие о каком-нибудь правиле, а потом уже давать определение оного;
5) заставлять учеников в уме решать легкие задачи;
6) показывать ученикам пользу и необходимость каждого арифметического правила, приспособляя оное к решению занимательных и часто встречающихся в общежитии задач".
Интересно отметить, что эти же шесть правил приведены в предисловии к безымянному "Руководству к преподаванию арифметики", в котором излагается систематический курс арифметики в катехизисной форме.
Далее Ф.И. Буссе на конкретных примерах показывал, как эти правила следует применять. Приведенный нами ранее пример введения переместительного закона умножения хорошо иллюстрирует применение второго и четвертого принципов.
Итак, руководства для гимназии, созданные Ф.И. Буссе, соответствовали уровню математической и методической науки того времени, имели широкое распространение и популярность в среде учеников и учителей математики.
Перевод "Курса чистой математики" Беллавеня, выполненный к 1836 г., не удовлетворил членов Ученого комитета Министерства просвещения. К использованию в гимназиях была одобрена только геометрия и то временно, до издания более подходящего учебника, заказанного Ф.И. Буссе. В 1844 г. Буссе представил рукопись учебного гимназического руководства для гимназий, по поручения физико-математического отделения Петербургской Академии наук отрецензированную В.Я. Буняковским и П.Н. Фуссом . В представленном ими отзыве указано, что "Руководство начальной геометрии" Ф.И. Буссе "достойно одобрения и может с пользою заменить курсы геометрии, доныне употреблявшиеся в гимназиях" . Таким образом, учебник геометрии Буссе был одобрен для употребления в гимназиях и издан департаментом народного просвещения.
Учебник Буссе стал первым в истории отечественного математического образования учебником элементарной геометрии, который имеет современную структуру и практически современное содержание. В нем отсутствует раздел лонгиметрии, ранее присутствовавший во всех более ранних учебных руководствах по геометрии. В "Руководстве начальной геометрии" только два раздела - планиметрия и стереометрия. Учебник Буссе удовлетворял требованиям, которые математика прдъявляла к учебникам того времени, он хорошо продуман и в методическом отношении. По мнению В.Е. Прудникова, который анализировал этот учебник достаточно детально, у него есть только один недостаток - отсутствие в каком-либо виде элементов теории пределов. Объясняется это, по-видимому, тем, что в программе 1846 г. теории пределов тоже нет.
Отметим также, что "Руководство начальной геометрии" Ф.И. Буссе - один из первых отечественных учебников математики, полностью соответствовавших программе 1846 г., возможно, потому, что автором ее также был Федор Иванович.
"Арифметика" В.Я. Буняковского
Виктор Яковлевич Буняковский - один из известнейших математиков XIX в., сочетавший педагогическую деятельность с активной научной работой, причем эта деятельность не ограничивалась преподаванием математики. Как преподаватель Морского кадетского корпуса он принимал деятельное участие в различных комиссиях по составлению программ и конспектов для военно-учебных заведений, рассмотрению учебных руководств по математике и др. С 1862 г. Буняковский занимал должность главного наблюдателя за преподаванием математических дисциплин в военно-учебных заведениях.
В.Я. Буняковский разработал и издал 3 учебных руководства по элементарной математике: "Арифметика", "Программа и конспект арифметики" и "Программа и конспект начальной геометрии". Из них наибольшей известностью пользовалась его "Арифметика", рекомендованная как мы уже говорили выше, Ученым комитетом в качестве учебного руководства для гимназий. Рукопись "Арифметики" была предложена на отзыв М.В. Остроградскому, который дал о ней положительное заключение. "Арифметика" выдержала 3 издания (1844, 1849, 1852), которые заметно отличались друг от друга. Она употреблялась в большинстве учебных округов России и всегда упоминалась в списке руководств по арифметике для гимназий, который в начале каждого года составлялся ученым комитетом министерства народного просвещения . "Арифметика" Буняковского пользовалась заслуженной популярностью у преподавателей математики благодаря своим несомненным методическим достоинствам.
К числу таковых относились систематичность и последовательность изложения материала, подробные и понятные объяснения арифметических правил, исключение из курса арифметики алгебраического материала (например, извлечения квадратных и кубических корней, уравнений первой степени), умение выделить основной материал, убрав дополнительный в "прибавления". Особенно привлекает в "Арифметике" наличие методических указаний для учителя, которые были сосредоточены преимущественно в предисловии. Приведем некоторые из них.
1."Упражнять как можно более в изустном и письменном счислении, пока ученик не утвердится совершенно в этом предмете".
2."Основные действия показать сперва наглядным образом, без всякого доказательства. Когда учащийся приобретет совершенный навык в производстве их, тогда уже повторить с объяснением причин. Поступая так, внимание ученика не будет развлечено рассматриванием предмета с двух сторон, во-первых, механическим производством выкладок, а во-вторых, доказательством объясняемых примеров. От этого правила можно уклониться только при быстрых способностях учащегося".
3. "Когда ученик привыкнет к выкладкам и к некоторым умственным соображениям, тогда можно приступить к дробям. Смотря на степень развития ученика, можно руководствоваться или приведенным сейчас правилом, или приемы с их объяснениями проходить вместе, когда заметишь, что учащийся достаточно для того развит".
4. "Предлагать ученику как можно более задач, преимущественно же практических; при этом должно стараться разнообразить по возможности условия задаваемых для решения вопросов".
Кроме предисловия "Арифметика" состояла из 7 глав, включавших:
1)предварительные понятия об именованных и отвлеченных числах,
2)нумерацию,
3) действия над целыми отвлеченными числами,
4)обыкновенные дроби,
5) десятичные и непрерывные дроби,
6) практические приложения арифметики,
7) прибавления.
Дадим краткую характеристику наиболее оригинальных из них.
Предварительные понятия об именованных и отвлеченных числах. Здесь обобщаются те понятия о числе и счете, которые человек получает из окружающей действительности. Буняковский не проводит резкую границу между именованными и отвлеченными числами, а старается их по возможности связать, показать переход от одних к другим. Он объясняет такой подход тем, что понятие об именованных числах развивается у детей раньше, поэтому оно проще и доступнее, чем понятие об отвлеченном числе. Определения целого числа автор не дает, так как считает, что оно "более затемняет понятия детей, чем развивает их".
Действия над целыми отвлеченными числами. Здесь даны некоторые оригинальные доказательства некоторых предложений, принадлежащие, видимо, самому Буняковскому. Так, он объяснял, почему при умножении множимое можно разбивать на части следующим образом.
"Рассматривая произведение 17 на 4, или 68, можем разложить 17, например, на части 3, 5 и 9, в этом случае найдем:
три пять девять
111 11111 111111111
111 11111 111111111
111 11111 111111111
111 11111 111111111
то есть произведение 17 на 4 равно сумме частных произведений: 3 на 4, 4 на 4 и 9 на 4".
Обыкновенные дроби. Действия над ними Буняковский объясняет полно и достаточно обычно. Наиболее же оригинальная часть - учение о делимости чисел было помещено в виде дополнения к этому разделу, где объясняются "способы сокращения дробей, основанные на признаках делимости целых чисел и на определении общего наибольшего делителя". Начинает этот раздел Буняковский с понятия о простых числах. Он рассматривает таблицы умножения, объясняет способ разложения составных чисел на простые множители и показывает, как определить, сколько простых множителей может иметь данное число. После этого он практически формулируем предложение о единственности разложения числа на простые множители: "Всякое целое число допускает только одно разложение на простые множители" и даже доказывает, что "количество простых чисел бесконечно". Последние два предложения впервые включены в гимназический курс арифметики.
Много внимания Буняковский уделял признакам делимости. Некоторые из них даны с доказательствами, а признаки делимости на 7, 11 и 13 только сформулированы в основном тексте "Арифметики", доказательство же их помещено в прибавлениях.
Десятичные и непрерывные дроби. Этот раздел Буняковский излагает очень хорошо, особенно материал о превращении обыкновенных дробей в десятичные и о периодических дробях. Наиболее сложное доказательство - признаков разложимости обыкновенной несократимой дроби в чистую и смешанную периодическую - дано в прибавлениях.
Заметим, что в 3-м издании "Арифметики" Буняковский объединяет десятичные дроби с целыми числами в одном понятии "десятичных чисел". Действия над десятичными дробями рассматриваются раньше, чем действия над обыкновенными дробями. Буняковский это мотивирует следующим образом: "Имея, с одной стороны, в виду, что всякую численную задачу только тогда можно считать вполне решенной, когда искомая величина выражена десятичным числом, целым или дробным, а с другой, тождество понятий о десятичных дробях и целых числах" целесообразно изучать действия над десятичными дробями вместе с действиями над целыми числами, "чрез что изложение арифметики упростится".
Надо сказать, что проблема последовательности изучения действий над обыкновенными и десятичными дробями и до сих пор остается одной из ведущих проблем методики арифметики. Подход Буняковского реализуется и в современных учебниках, например, в учебнике математики для 5-6-го класса Н.Я. Виленкина и др., введенном в обучение математике в период колмогоровских реформ математического образования 60-70-х гг. XX в.
В заключительном разделе "Арифметики" В.Я. Буняковский рассматривал дополнительный и чрезвычайно важный и интересный материал о различных системах счисления. Здесь показано, как перейти от одной системы к другой, и подробно рассмотрены двоичная или "диадическая", как называет ее Буняковский, и двенадцатиричная или "додекадическая" системы счисления. Даны также пояснения к римской и славянской системам счисления, приложены таблицы обозначения в них чисел. "Арифметика" В.Я. Буняковского стала одним из лучших учебных руководств своего времени, нашедшим доброжелательное отношение в обществе. Журнал "Маяк" в 1844 г. так отзывался о ней: "Книга, им изданная, есть лучшее руководство, не только для учащихся, но и для учителей, как образец легкого, самого естественного, ясного изложения".
Итак, мы видим, что авторы учебников математики в 30-х - 40-х гг. XIX в. все чаще не ограничивались разрозненными методическими указаниями к своим учебникам, но разрабатывали методику изучения соответствующей математической дисциплины по этим учебникам. Перейдем к характеристике этих первых обобщенных методических сочинений, которые чаще всего посвящены методике обучения арифметике, что объясняется, видимо, накопленным к этому времени значительным опытом преподавания в школе прежде всего именно этой дисциплины.
"Программа и конспект арифметики" и "Программа и конспект геометрии" В.Я. Буняковского
Характеризуя ранее учебник арифметики В.Я. Буняковского, мы говорили, что в предисловии автор дает ряд методических рекомендаций к изучению соответствующего курса. По всей видимости, написав "Арифметику", Буняковский почувствовал необходимость в более подробном толковании собственных методических идей, создав в итоге одну из первых методик арифметики. Но если Буссе и Гурьев разработали методику начального обучения арифметики, то "Арифметика" Буняковского была рекомендована к изучению в гимназиях и военно-учебных заведениях, т.е. предназначена для получения среднего математического образования. Поэтому и созданный Буняковским методический труд также относился к методике преподавания арифметики на среднем уровне. Он назывался "Программа и конспект арифметики" и был опубликован в 1849 г. перед выходом в свет 2-го издания "Арифметики".
Программные методические установки даются В.Я. Буняковским в первом разделе "Программы и конспекта арифметики", который называется "Общие замечания". Охарактеризуем некоторые из этих методических положений. В.Я. Буняковский:
1) считает необходимым последовательное изложение курса арифметики: "Необходимо в продолжение всего курса арифметики сохранить последовательность не только в порядке главных статей этой науки, но и в подробностях изложения".
2) полагает, что следует полно, глубоко и доказательно его излагать: "в исследовании всякого предмета необходима надлежащая полнота; поверхностные взгляды и сокращения там, где имеем в виду достигнуть очевидности или полного убеждения, более вредят, чем приносят пользы. Действительно, полудоводы и голословные доказательства приучают ум к лености и недейственности, тогда как должно стремиться всеми силами возбудить в нем деятельность".
3)считает основной задачей автора учебника выделение главного, существенного: "лучше довольствоваться основательным изложением важнейших статей науки, нежели увеличивать число их введением второ-степенных, когда время не позволяет пройти все со строгой отчетливостью".
4)предъявляет следующие требования к стилю изложения: "Изложение должно быть просто, ясно, по слогу соответствовать возрасту и понятиям начинающих; педантский тон, рождающий всегда темноту и неопределенность в выражениях, есть зло даже в высших науках, а тем более в элементарной, какова арифметика".
5)предлагает основательное закрепление материала: "Преподаватель по возможности должен стараться не переходить к новому предмету, пока учащиеся вполне не утвердятся в пройденном. От этого, конечно, произойдет неизбежное замедление в начале курса; но это самое замедление будет содействовать не только надежности, но даже и быстроте дальнейших успехов".
6)советует преподавателю расширять свой кругозор: "Знать учителю только то, что он читает, мало: его преподавание непременно будет отзываться неуверенностью, в изложении часто найдется недосказанное, и это никак не ускользнет от сметливости учеников. А ослабление доверия учащихся к познаниям преподавателя, конечно, должно иметь невыгодное влияние на их дальнейшие успехи".
7)считает абсолютно необходимыми вычислительные упражнения: "Частые практические упражнения в классе, и по возможности вне классов, необходимы; как бы преподаватель хорошо и сяно ни читал не только арифметику, но даже и высшие части математики, нельзя ожидать успехов, если учащиеся собственным трудом и попытками не познакомятся с механизмом вычисления".
8) указывает в качестве источников практических арифметических задач такие учебные дисциплины, как география, статистика, физика, механика, причем "верность численных данных, входящих в задачи, составляет условие необходимое: ученики, удерживая в памяти хотя некоторые численные показания, приобретут без особого труда и, так сказать, мимоходом, сведения, полезные для всякого образованного человека".
Эти методические положения, подавляющее большинство которых не потеряло своего значения и сейчас, Буняковский конкретизировал в основном тексте "Программы и конспекта арифметики", показав учителя, как надо излагать тот или иной раздел курса.
Своеобразны представления В.Я. Буняковского о предмете арифметики. Они резко контрастируют с воззрениями П.С. Гурьева, однако содержание курса арифметики оба автора представляют себе примерно одинаково. Буняковский считает, что арифметика - лишь "техническая или исполнительная часть алгебры" и потому должна ограничиться "развитием некоторых первоначальных понятий о целых и дробных числах, произношение и изображение на письме обоих родов чисел и основные четыре действия над ними". Весь остальной материал, который тогда по традиции излагался в курсе арифметики - извлечение квадратных и кубических корней, тройные правила, непрерывные дроби, прогрессии и логарифмы должны, по его мнению, изучаться в курсе алгебры. Таким образом, Гурьев и Буняковский продолжили работу по очищению арифметики от чуждого ей материала, которая начата еще в середине XVIII в. Эйлером и его последователями.
По аналогии с "Программой и конспектом арифметики" и с той же целью В.Я. Буняковским издана "Программа и конспект начальной геометрии" (1851). В ней он излагает основные методические принципы преподавания этого предмета: необходимость делать экскурсы в историю геометрии, соблюдать меру в использовании наглядности при ее изучении, не обременять память большим количеством вспомогательного материала (определений, вспомогательных утверждений и т.д.). Не потеряло актуальности и указание о том, что при изучении геометрии вводить определения следует "только по мере надобности, наблюдая притом, чтобы возможность определяемого предмета не подлежала никакому сомнению".
Все же "Программа и конспект геометрии" менее известна, чем "Программа и конспект арифметики", вероятно, в силу того, что отсутствовало само учебное руководство.
Вообще, два вышеуказанных методических труда В.Я. Буняковского не имели такого широкого резонанса, как его же учебник арифметики, возможно, в силу непривычности такого рода сочинений. Или в силу того, что они были подготовлены автором для военно-учебных заведений и не вышли на самый массовый уровень существовавшего тогда среднего математического образования - уровень гимназического математического образования. Надо признать, что в них отразились не только методические взгляды самого Буняковского, но и воззрения тех учителей математики, которые группировались около М.В. Остроградского в бытность последнего руководителем математического образования в системе военно-учебных заведений России . Эта деятельность, судя по архивным материалам , началась в 1843 г. и длилась долгие годы.
Источник: Полякова Т.С. История отечественного школьного математического образования. Два века. Кн. II. Век девятнадцатый. Первая половина. - Ростов-н/Д: Изд-во Рост. гос. пед.ун-та, 2001. - С.71-75, 92-96, 99-102.
См.подробнее:
Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. - М.: ГУПИ, 1951.