Гимназический курс математики включал преподавание арифметики, геометрии и тригонометрии. Первым учебником математики в гимназии было пособие Хр. Вольфа, " Введение в искусство счета для употребления в гимназии при Императорской Академии наук в С.-Петербурге " (1713), широко распространенное в то время. В нем были реализованы такие методические идеи как приоритетность развития мышления перед формированием практических умений и формализация математического содержания.
Эйлер выдвигает и совершенно иные методические основы гимназического преподавания математики, которые реализуются им прежде всего в учебнике арифметики для академической гимназии.
Учебник арифметики для академической гимназии Л.Эйлера
"Руководство к арифметике для употребления в гимназии при императорской Академии наук" (в двух частях) Эйлера вышло в С.-Петербурге на немецком языке в 1738-40 гг. и в русском переводе в 1740 и 1760 гг. Это учебное пособие положило начало новому направлению в отечественной школьной математической литературе.
Авторская характеристика методических идей. Эйлер в обращении к читателю так характеризует необходимость в отечественном учебнике арифметики: "Число арифметических книг, которые в разных государствах на свет изданы, так велико, что многим сей труд мог бы весьма ненужным казаться... Но русское юношество не может пользоваться иностранными руководствами без больших затруднений и сочинения страдают крупными недостатками".
Под недостатками Эйлер понимает как чисто практический характер учебников математики (например, "Арифметики" Магницкого), так и излишнюю формализацию, ведущую к искусственному усложнению изложения (учебники Хр.Вольфа). Приведем характеристику этих учебников самим Эйлером: "... кои содержат или только одни правила со многими при них положенными примерами, а о основании, на котором те правила утверждаются, не упоминается в них ни одним словом; или хотя праведные основания сея науки в некоторых руководствах и показываются, однако ж так трудным и непонятным образом, что ежели кто к математическому порядку не привык, то не можно почти того и выразуметь". По мнению Эйлера, "если арифметика без оснований и доказательств показываться будет, то оная не довольна ни к разрешению всех случаев, ни к поощрению человеческого разума, о чем наипаче надлежало бы стараться". Эйлер считает, что изучая арифметику, ученики должны приучаться "праведные основания и причину видеть" и через это они " приобыкнут к основательному размышлению".
Таким образом, Эйлер стремился дать обоснованное и вместе с тем понятное изложение числовой арифметики. С современной точки зрения, в своем учебнике он попытался сочетать принципы доступности и научности в изложении математики, что было безусловным шагом вперед в развитии методических идей школьного обучения математике. Будучи первоклассным вычислителем, Эйлер в обращении к читателю делает акцент на необходимости поиска наиболее эффективных способов вычислений: он подчеркивает, что большинство учебников не заботится "о тех способах, чрез которые счисление легче и короче учинить можно, но тем только удовольствуются, чтоб о всем основание в коротких словах показано было".
Итак, Эйлер предъявлял к учебнику арифметики целый ряд прогрессивных методических требований и попытался их реализовать в "Руководстве к арифметике...". Эти требования в обобщенном и осовремененном виде выглядят следующим образом: 1) научность, выражающаяся в необходимости обоснования математических фактов, 2) доступность изложения материала, 3) упрощенная техника арифметических вычислений.
Математическое содержание "Руководства к арифметике...". В предисловии Эйлер раскрывает и свои планы в отношении математического содержания учебника: в первых 2 частях предполагалось изложить действия над целыми и дробными числами, в третьей - правила тройное, ложного положения и др., в четвертой - представить часть курса, "который надлежит до геометрии и до прочих частей математики, и содержит в себе десятичные дроби купно с вычитанием радиксов, а напоследок также и учение о логарифмах и их употреблении толкует". Из-за отъезда Эйлера в Берлин в 1741 г. учебник остался недописанным и вышли только первые 2 его части.
Первая часть называется "О первых арифметических действиях в целых и ломаных числах" и содержит:
- определение понятия числа как множества частей одного рода;
- системы нумераций;
- сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел (главы II-V);
- сложение, вычитание, умножение и деление дробей (главы VI-IX).
Вторая часть включает в себя действия над именованными числами, а также таблицы русских и зарубежных мер и весов.
Итак, в "Руководстве к арифметике..." представлено относительно традиционное для того времени математическое содержание, однако четко выделен только арифметический материал, что явилось одним из первых шагов к дифференциации школьной математики и учебных пособий на отдельные предметы.
Особенности изложения материала в "Руководстве к арифметике..."
1. В большинстве современных Эйлеру учебников математики (в том числе и в"Арифметике" Магницкого) нумерация включена в число арифметических действий. В эйлеровском учебнике арифметики нумерация не включается в число арифметических действий, а выделяется в отдельную главу.
2. Эйлер дает определения арифметических действий. Примеры:
"Деление учит данное число на столько равных частей разделить, на сколько кто желает".
"Умножение есть способ как такое число сыскать надлежит, которое бы данного числа вдвое или втрое, или во столько раз было больше, сколько угодно".
Как видно, это не определения умножения и деления, которые вполне строго можно было бы ввести, опираясь на сложение, но и не громоздкие конструкции, которые мы находим, например, в "Арифметике" Магницкого.
3. Все правила действий даются с необходимыми обоснованиями: иногда с полным доказательством (например, признаки делимости), иногда доказательство неполное. Для нахождения наибольшего общего делителя используется алгоритм Евклида. Очень часто рассматриваются не частные приемы выполнения действий, а общий принцип. Так, при сложении и вычитании Эйлер сразу показывает принцип сложения единиц соответствующих разрядов, по которому осуществляется сложение любых чисел.
4. Что касается законов действий (рассматриваются ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность), то, несмотря на провозглашенную в обращении к читателю необходимость обоснований, дается удовлетворительное объяснение только коммутативности умножения (при помощи прямоугольника, составленного из рядов точек), причем применяется неполная индукция, не являющаяся методом строгого доказательства.
5. Необычен и характер примеров, иллюстрирующих правила. Если в других руководствах они в основном имели практический характер, то в "Руководстве к арифметике..." Эйлер часто использует примеры из библии или античности, так как теология и история входят в сферу его интересов. Вообще примеры разбираются очень подробно, на них выясняются всевозможные нюансы, частные и особые случаи рассматриваемого вопроса. Кроме того, рассматривается очень много задач естественнонаучного характера, есть и практические задачи.
6. Большое внимание уделено признакам делимости на 2, 4, 8, 5, 3, 6, 9, которые используются для облегчения вычислений.
7. Очень подробно рассматривает Эйлер деление с остатком, естественно переходя от него к дробям. Учение о дробях предшествует разделу об именованных числах, причем Эйлер вводит 2 определения дроби:
Первое - дробь как частное от деления, неосуществляющегося нацело, причем, убеждая в существовании дроби, он рассматривает пример: при делении 17 на 5 частное целым быть не может, "однакож оно есть некоторое количество, или число, потому что можно сказать, что сие частное число больше, нежели 3, а меньше нежели 4".
Второе - дробь как сумма долей единицы: "Всякое ломаное число, когда единица или нечто целое разделится на столько равных частей, сколько показывает нижнее число, содержит в себе столько оных частей, сколько изъявляет верхнее над чертой стоящее число".
На примере Эйлер показывает, что они практически совпадают.
8. Там, где нужно, намечается перспектива, ставятся проблемы, которые будут решаться в дальнейшем. Так, при изучении деления Эйлер специально предлагает задуматься над случаем, когда частное "такими числами, о каких мы теперь рассуждаем, изобразить не можно, но к тому требуются ломаные числа, или доли, которых свойство теперь еще за неизвестное полагается, а истолкование будет в следующем".
9. В конце каждой главы приводятся текстовые задачи, хотя задач и упражнений для самостоятельного решения в учебнике явно недостаточно, а специальных задачников в то время не было.
Итак, Эйлеру удалось написать учебник арифметики, несомненными методическими достоинствами которого можно считать:
1) систематическое изложение материала;
2) достаточно оптимальное сочетание теории и практики;
3) успешные попытки если не обосновать, то хотя бы разъяснить, растолковать каждое правило, что существенно повысило уровень строгости изложения, научности учебника;
4) доступность изложения материала, проявившаяся прежде всего в простом, ясном изложении правил, упрощенной технике вычислений.
Не став стабильным учебником, "Руководство к арифметике" оказало значительное влияние на учебную математическую литературу и стало прецедентом создания выдающимся ученым доступного школьного учебника, не снижая его научного уровня.
Учебники геометрии для академической гимназии
Во времена Эйлера геометрию часто преподавали по "Началам" Евклида, которые в течение XVIII в. трижды переводятся в России . Однако ни один из переводов не был адаптирован для школы, неадаптированный же вариант, безусловно, был мало пригоден для нужд обучения. К тому же к учебникам математики предъявлялись все более серьезные методические требования, поэтому тяжеловесные стиль и структура "Начал" перестают удовлетворять потребностям обучения геометрии. Изданные для математико-навигацкой школы пособия по геометрии, как уже говорилось, носили чисто практический характер, т.е. требовалось создание учебников геометрии нового поколения.
Рукопись, приписываемая Эйлеру. Есть достаточно обоснованные предположения, что Эйлер предпринял попытки создать учебник геометрии: о нем есть упоминания в ряде библиографических источников, найдены рукописные фрагменты учебника геометрии на немецком языке , идентифицированные как принадлежащие Эйлеру. Однако, сама книга, если она все же была издана, по всей видимости, не сохранилась или до сих пор не найдена.
Рассмотрим вкратце содержание сохранившихся фрагментов, так как они уточняют представления о требованиях Эйлера к содержанию школьного учебника геометрии. Особый интерес представляет начало фрагмента, где Эйлер дает определения-описания основных понятий.
"1. Линия, лат. linea, есть длина без ширины и толщины".
"2. Настолько малая часть линии, что она более не имеет длины, называется точкой, punktum"...
"8. И от А к В можно провести только одну-единственную прямую линию; напротив, из А в В может проходить много кривых..."
Далее описываются свойства измерения длин в английских футах и дюймах, русских мерах - саженях, аршинах, верстах, а также немецких милях. После этого определяются простейшие фигуры: угол, его элемнты, равенство углов, окружность и круг и их элементы. Даются без доказательств первые теоремы:
"1. Если в некоторой окружности даны две равные хорды, то и стягиваемые ими дуги будут равны.
2. Поэтому если из концов одинаковых дуг провести радиусы, то и образуемые при этом углы будут также равны между собой".
Затем следуют определения перпендикуляра к прямой, прямого и тупого углов.
Параллельные прямые Эйлер вводит так:
"Две прямые линии ВА и СD сходятся, когда они все более сближаются, в каковом случае они в конце концов встречаются и образуют угол. Поэтому такие линии при продолжении в другие стороны за В и С все больше удаляются одна от другой, что называется расхождением. Если две линии, АВ и СD, не сходятся и не расходятся, то они параллельны, т.е. параллельные линии такие, которые неизменно одинаково удалены одна от другой и, как бы далеко ни продолжались, нигде не сходятся".
После этого следуют теоремы об углах при пересечении двух параллельных прямых третьей и о параллельности и перпендикулярности прямых. Далее помещен небольшой раздел под заголовком "О знаках и их употреблении", в котором вводится современнейшая для того времени символика: знаки =, +, -, <, >.
Следующий раздел называется "О треугольниках" и начинается с определения фигуры как "пространства или места, ограниченного линиями и заключенного внутри них", после чего вводятся понятия трех- , четырех- и пятиугольника. Доказываются теоремы о сумме углов треугольника, о величине угла треугольника и дается классификация треугольников по сторонам и углам. С помощью наложения доказаны первый и второй признаки равенства треугольников. Затем рассматриваются свойства равнобедренного и равностороннего треугольника, довольно оригинально доказывается третий признак равенства треугольников.
После этого Эйлер перечисляет основные задачи на построение:
- треугольников по трем элементам,
- перпендикуляра из заданной точки прямой и из заданной точки на прямую,
- деление угла пополам,
- построение углов в 60o и 30o.
Затем доказана теорема о соотношении сторон и углов треугольника и следствия из нее; теорема о том, что перпендикуляр из данной точки на данную прямую - кратчайшая из всех прямых и как следствие - гипотенуза всегда больше катета. Доказывается также, что сумма 2 сторон треугольника всегда больше третьей.
Заключительный раздел фрагмента назван "О четырехугольниках". Эйлер классифицирует их на параллелограммы и трапеции, параллелограммы в свою очередь на прямоугольники, квадраты, ромбы, обосновывая свойства параллелограммов. Достаточно подробно рассматривается вопрос о равновеликости параллелограммов и треугольников, решаются задачи на построение некоторых равновеликих фигур. Доказываются теоремы о сумме внутренних углов четырех-, пяти-, шестиугольников, произвольного многоугольника. В заключение даются определения правильных многоугольников и приводится таблица величин внутренних углов трех-, двенадцатиугольников и девяностоугольника.
Итак, во фрагментах представлен классический планиметрический материал, изложенный доходчиво и достаточно современно, с обоснованиями важнейших теорем.
Как считает Ю.А.Белый , весьма вероятно, что рукопись предназначалась для преподавания в академической гимназии в первые годы пребывания Эйлера в С.-Петербурге, т. е. в 1727-1730 гг. В эти годы он еще не обнародовал основные педагогические и методические воззрения, но, судя по фрагменту этого учебника, уже руководствовался ими при разработке конкретных пособий.
Продолжим характеристику учебников геометрии, созданных для академической гимназии.
Учебник Г.Крафта. В 1748 г. выходит в свет "Краткое руководство к теоретической геометрии", написанное академиком С.-Петербургской Академии наук Георгом Крафтом специально для академической гимназии . Интересно, что русский вариант этой книги был отредактирован М.В.Ломоносовым, прекрасно знавшим математику, широко использовавшим ее в своих исследованиях и даже внесшим некоторый вклад в развитие математического образования в России . Вопросы, связанные с несоизмеримостью, преимущественно обойдены. Проблемы измерения площадей и объемов решаются с помощью принципа Кавальери и вписания в кривые линии "многоугольников с бесконечно малыми сторонами". Таким образом, несмотря на название курса Г.Крафта, все сколько-нибудь сложные теоретические вопросы обойдены, проблемы же прикладного характера во многом по-прежнему доминируют.
Отказавшись от попыток аксиоматического построения геометрии (аксиомы отсутствуют), автор широко использует движение для преобразования фигур. Кроме теоретического материала книга Крафта содержит многие весьма полезные практические приложения. Она отличается простотой изложения, доступностью материала, однако уровень строгости ее явно недостаточен. Тем не менее, довольно долго ученики академической гимназии пользовались преимущественно ею. "Краткое руководство к теоретической геометрии" было переиздано в 1762 г.
Учебники алгебры для академической гимназии
Точных данных об использовании в академической гимназии тех или иных учебников алгебры не сохранилось. Поэтому ограничимся здесь лишь упоминанием и очень лаконичной характеристикой учебных пособий по алгебре того периода:
1. "Начальное основание математики... Ч. 1, Спб., 1752" военного инженера Н.Е.Муравьева - автора первого русского учебника алгебры. Курс содержал обширный материал, включая бином Ньютона и методы решения уравнений высших степеней. Однако он страдал традиционными для той поры недостатками: несистематичностью изложения, трудностью восприятия материала в силу неясности, нечеткости изложения.
2. "Универсальная арифметика. Спб., 1757" Н.Г.Курганова, которая содержала элементы алгебры.
"Универсальная арифметика" Л.Эйлера
Л.Эйлер создал учебник высшей алгебры, ставший прообразом всех последующих, вплоть до учебников конца XIX - начала ХХ вв. Двухтомное "Полное введение в алгебру" Эйлер подготовил по возвращении в Петербург. Оно издано на немецком языке в 1770 г. Ранее, в 1768-1769 гг. вышел русский перевод этой книги под названием "Универсальная арифметика", который оставил далеко позади все существовавшие тогда в России учебники алгебры. "Универсальная арифметика" Л.Эйлера написана как бы в 2 планах - учебном и исследовательском. Она состоит из 2 томов.
В первом томе разработан основной алгебраический аппарат. Вводный раздел первого тома называется "О разных исчислениях простых количеств" и начинается с общих рассуждений "о математике вообще", определения понятия числа как "отношения одного количества к другому", характеристики предмета алгебры. Эйлер считает, что алгебра, или аналитика, - "основательная часть математики", заключающая "вообще все случаи, какие токмо при учении о числах и исчислении оных место иметь могут". Он характеризует взаимосвязи алгебры с арифметикой как "наукой о числах собственно так называемых", которая "простирается токмо до известных родов исчисления, которые чаще в общежитии случаются". Здесь же излагается алгебраическое знакоположение, рассматриваются действия с положительными и отрицательными числами, а также с дробями. Рассматривается извлечение корней и в связи с этим иррациональные числа. Завершается этот раздел теорией логарифмов.
Во втором разделе, озаглавленном "О разных исчислениях сложных количеств", рассматриваются действия над многочленами, исследуются ряды, получающиеся при делении 1 на (1-а), и бином Ньютона для любого показателя. В третьем разделе первого тома рассматриваются отношения, пропорции, прогрессии, бесконечные десятичные дроби и проценты ("исчисление интересов").
В первом томе Эйлер стремился к возможно более полному обоснованию алгебраических правил. Законам действий отведено немного места: рассматривается лишь переместительный закон умножения. Более подробно рассмотрен случай деления на нуль в духе присущих Эйлеру взглядов на бесконечность. Эти взгляды он частично раскрыл еще в "Руководстве к арифметике". Не обходя трудные места, он достаточно четко и корректно с математической точки зрения их разъясняет. Так, касаясь случая, когда делитель является нулем, Эйлер пишет: "Тогда частное число есть бесконечного количества; но понеже сей случай в обыкновенном делении не приходит, то тем, которые учиться еще начинают, о бесконечных количествах ничего предлагать не надобно".
Не всегда внятно изложена природа отрицательных, иррациональных (по Эйлеру, "неизвлекомых") и мнимых ("невозможных") чисел. "Поелику все числа, какие токмо представить себе можно, суть или меньше или больше 0, или суть самый 0, то явствует, что квадратные корни из отрицательных чисел, в число возможных включить не можно, и что следственно оные наименовать должно числами невозможными". Однако Эйлер признает их пользу для алгебры, так как они, по его мнению, служат признаком невозможности решения задачи.
Учение о логарифмах Эйлер изложил заново . Логарифм он определяет как показатель степени выбранного основания. Особенно большое внимание уделил Эйлер процессу логарифмирования и его связям с другими способами вычисления. Общепризнанно, что учение о логарифмах - одна из лучших частей его книги.
Академик В.Я.Буняковский так характеризовал первый том эйлеровской алгебры: "Первая часть "Алгебры" Эйлера послужит драгоценным руководством преподавателю арифметики для собственного образования. Из этого образцового сочинения он научится ясно и отчетливо излагать свои мысли, располагать самым выгодным образом как общие предложения, так и приемы решения частных вопросов и, так сказать, доводить учеников самих к открытию доказываемых истин, что конечно, в высшей степени полезно. С другой стороны, изучавший основательно эту книгу, усилится в теоретической части арифметики, потому что эта часть излагается у Эйлера в самой близкой связи с начальными понятиями об алгебре и, следовательно, получает там более развития и определительности, чем в обыкновенных курсах".
Второй том посвящен уравнениям. В нем излагаются сведения о решении уравнений до 3-й и 4-й степеней включительно, в том числе приближенные методы вычисления действительных корней. Однако общая теория уравнений в нем не рассматривалась.
Кроме того, второй том содержал научные результаты самого Эйлера в области диофантова анализа. В нем он:
- обобщил и систематизировал все, что было известно до него о решении неопределенных уравнений fn(x,V)=0 при n = 2, 3, 4 в рациональных числах;
- впервые четко сформулировал, в чем состоит принципиальное различие между решением неопределенных уравнений второй и третьей степеней; - показал детальное применение "метода секущей" и "метода касательной" для приближенного решения диофантовых уравнений.
Мы специально так подробно охарактеризовали изложение Эйлером теории диофантовых уравнений, чтобы подчеркнуть сугубо исследовательский характер отдельных разделов "Универсальной арифметики". Однако в основной своей части она включает материал, который сейчас принято называть элементарной алгеброй, изложена вполне доступно и в этом отношении превосходит все предыдущие пособия по алгебре. Неудивительно, что "Полное введение в алгебру" Эйлера неоднократно переиздавалось на немецком языке, а также в русском, французском, английском и голландском переводах.
Все же учебник Эйлера включал слишком большой и трудный для гимназического обучения материал, поэтому возникла задача его переработки, которую успешно выполнил ближайший ученик и помощник Эйлера в последние годы его жизни Н.И.Фусс. Он издал книгу "Начальные основания алгебры, выбранные из алгебры Леонарда Эйлера" , неоднократно переиздававшуюся, начиная с 1799 г. Это практически переработанная в учебных целях эйлеровская "Универсальная арифметика" (подробная характеристика учебника дана ниже). Не будет преувеличением сказать, что русские пособия по алгебре до учебника А.П.Киселева включительно продолжали и развивали традицию, "восходящую через Фусса к Эйлеру".
"Сокращения математики" С.Я. Румовского
"Сокращения математики. Часть первая, содержащая начальные основания арифметики, геометрии и тригонометрии, сочиненная Академии наук адъюнктом Степаном Румовским. В Санкт-Петербурге при императорской Академии наук. 1760." - таково полное название этого учебного пособия. По мнению ряда исследователей , "Сокращения..." написаны под несомненным влиянием трудов видного венгерского ученого первой половины XVIII в., почетного члена Петербургской Академии наук И.А.Сегнера , в нем также прослеживаются методические идеи Хр.Вольфа. Кроме того, при написании "Сокращений..." Румовский широко пользовался тригонометрическими исследованиями Л.Эйлера.
Полное руководство по элементарной математике для учащихся академической гимназии и университета в это время отсутствовало: издание "Универсальной арифметики" Эйлера еще не было закончено, учебника тригонометрии не было вообще, "Краткое руководство к теоретической геометрии" Крафта довольно быстро разошлось. "Сокращения..." Румовского во многом восполнили этот недостаток, став новым руководством для гимназистов по всем разделам элементарной математики, включая алгебру.
Учебное пособие Румовского состоит из "предуведомления" и 4 разделов - начальных оснований арифметики, теоретической геометрии, плоской тригонометрии и практической геометрии. В "Предуведомлении" Румовский в качестве основной цели провозглашает создание математического курса на "российском языке". Вслед за Эйлером Румовский делит учебные пособия на 2 категории: "Издаются математические книги двух родов: одни дают правила без доказательств и снабжают их пояснительными примерами, другие доказывают входящие в них предложения".
Однако вопреки Эйлеру, который предлагает сочетать математическую строгость, доказательность с простотой и ясностью изложения, Румовский признает приоритет доказательности, следуя скорее Хр. Вольфу. "Строгость математическая, которая состоит в том, чтоб ничего кроме известного и ясно доказанного за основание не принимать, нечувствительно приучает рассуждать о вещах твердо и основательно". Поэтому основной метод изложения материала, который провозглашает Румовский в "Предуведомлении", - не ограничиваться только содержанием правил, а приводить "сверх того доказательства и всякого действия причины". Следуя аксиоматическому изложению Евклида, Румовский считает, что "начинающим учиться полезно предлагать математические науки по такой книге, где строгость и порядок математический наблюдается", поэтому изложение материала он считает необходимым начинать "от понятий самых простых и известных" - определений и теорем.
В соответствии с традициями отечественной учебной литературы, он подчеркивает необходимость связи теории и практики, особое значение математики для развития общества: "Почитая за излишнее дело пространно доказывать пользу математики, тем сие заключу, что в общем житии ничего без познания величины и количества в пользу нашу употребить не можем, которое от одной математики заимствовать должно".
В "Предуведомлении" раскрываются и связи математики с другими науками, подчеркивается, что математический метод является самым точным и надежным. Так, о взаимосвязи математики и физики он пишет: "Чем больше в физике открыто будет неоспоримых истин, которые бы могли служить основанием, тем больше математика распространяется". Это говорит о том, заключает автор, "сколь пространно поле математики и сколь нужна арифметика и геометрия к приобретению знания других частей математических". Еще раз, очень настойчиво Румовский подчеркивает в "Предуведомлении", что математика приучает "мысли свои и рассуждения так располагать, чтоб ничего неизвестного, неясного и без доказательства не утверждать", потому что человек "и о других вещах тому же порядку последовать будет", ибо "привычка есть другая природа". Подтверждая свою изумительную эрудицию и интерес к проблемам педагогики, он привлекает в качестве авторитета английского ученого-педагога Дж.Локка: "математические науки весьма способны к приучению разума к твердым и основательным рассуждениям... когда кто, обучаясь математике, получит способность рассуждать порядочно, то тому же порядку последовать будет и в рассуждениях о других вещах". В заключение "Предуведомлений" Румовский предупреждает учащихся, что для овладения математикой необходимы трудолюбие и настойчивость, приводя в качестве аргумента знаменитые слова Евклида о том, что "нет и для государей особливого и способнейшего пути к познанию математики".
Итак, в "Предуведомлении" Румовский излагает свои методические принципы, к которым можно отнести:
- доминирование доказательности, логической составляющей математики как средства в том числе воспитания и развития обучаемого;
- необходимость изложения математики на современном российском языке;
- сочетание теории и практических приложений;
- первоначальное введение аксиом и определений, что можно условно назвать аксиоматическим стилем изложения материала.
Перейдем к характеристике содержания "Сокращений...". Из 4 отделов, перечисленных нами ранее, наиболее интересными по полноте и ясности изложения являются арифметический и тригонометрический. Арифметический отдел Румовский начинает в соответствии со своими методическими принципами с определений. Арифметику он, как и Эйлер, характеризует как науку, которая "показывает свойства чисел и подает правила к решению случающихся в общежитии задач". Целое число, как понимает его Румовский, есть "множество частей одинакового рода, взятых вместе и называемых единицами". При изложении действий над целыми числами Румовский, по его собственным словам, следовал Сегнеру.
Прежде чем вводить понятие дроби, Румовский предлагает учение об отношениях и пропорциях. Действия над дробями он обосновывает свойствами пропорций и использует определения операций. Практическая часть главы о пропорциях и дробях называется "О употреблении пропорций в общежитии", включает тройное правило с его разновидностями и иллюстрируется многочисленными задачами.
Последняя глава арифметического отдела предлагает материал для знакомства с прогрессией как основой логарифмов, которые определяются как члены арифметической прогрессии, соотнесенные с геометрической.
Геометрический отдел "Сокращений..." характеризуется попыткой адаптации Евклида для школьного обучения за счет изменения стиля и структуры евклидовых "Начал", но не касается их фактического содержания. По евклидову образцу определяются основные понятия (точка, прямая, плоскость), перечисляются аксиомы, система которых, естественно, недостаточна. При изложении вопросов метрики случай несоизмеримости обходится, что также вполне естественно (он окончательно решен в математике лишь спустя столетие). Текст отдела богато иллюстрирован рисунками и чертежами.
В третьем отделе "Сокращений...", посвященном плоской тригонометрии, Румовский знакомит читателя с основными тригонометрическими величинами, моделируя их, по примеру Эйлера с помощью единичной окружности. Он рассматривает знаки тригонометрических величин в разных четвертях, устанавливает отношения между основными тригонометрическими величинами, выводит основные тригонометрические формулы. Вторая глава тригонометрического раздела содержит изложение теории синусов и косинусов и решение на этой основе треугольников.
В четвертом отделе, который назван Румовским "Прибавление" и включает начала практической геометрии, излагаются способы проведения прямых и кругов на земной поверхности, приемы измерения углов астролябией, пользования ватерпасом, а также способы приближенного вычисления сегмента с малой высотой и узких круговых секторов. В "Сокращениях..." в соответствии с интересами автора и традициями того времени рассматриваются многие вопросы геодезии и астрономии. Так, в последнем разделе практической геометрии Румовский отмечает, что эта наука имеет прямое отношение к астрономии, механике и оптике и потому особое внимание обращает на характеристику инструментов и способы пользования ими для различных измерений.
Заканчивая краткий разбор "Сокращений математики" Румовского, еще раз подчеркнем, что несмотря на то, что они охватывают широкий круг математических вопросов, раскрывают пути применения математических знаний в других науках, характеризуются тщательным подбором примеров, иллюстрирующих выдвигаемые положения, они все же были трудны для понимания во многом из-за "вольфовского" стиля изложения. Тем не менее, "Сокращения..." были одним из наиболее употребительных в академической гимназии руководств. Заметим, что некоторые авторы объясняют это высоким положением в Академии самого автора.
Источник: Полякова Т.С. История отечественного школьного математического образования. Два века. Кн. I: век восемнадцатый. - Ростов-н/Д: Изд-во Рост. пед.ун-та, 1997. - С.143-156.
См.подробнее:
Беляев В.И. "Универсальная арифметика" Леонарда Эйлера - прототип учебников элементарной алгебры // Из опыта преподавания математики в VIII-X классах средней школы / под ред. П.В. Стратилатова. -М.: Учпедгиз, 1955. C.130-142.
Бусев В.М. "Руководство к арифметике" Леонарда Эйлера // Математика, №6, 2007. C.25-30.
Хармац А.Г. Создание Л.Эйлером учебника арифметики нового типа с повышенной в нем ролью теории // Ученые записки МОПИ. Т.202. Вып.6. -М., 1968. C.373-377.
Эйлер Л. Руководство к Арифметике для употребления гимназии при Императорской Академии наук. - СПб, 1740.
Эйлер Л. Универсальная Арифметика. Том первый, содержащий в себе все образы алгебраического вычисления. - СПб, 1768.